顺流：

 

[tex]\Delta t_{m}=\frac{(t_1^{'}-t_2^{'})-(t_1^{''}-t_2^{''})}{\ln \frac{(t_1^{'}-t_2^{'})}{(t_1^{''}-t_2^{''})}}[/tex] (2-11)

 

逆流：

[tex]\Delta t_{lm}=\frac{(t_1^{'}-t_2^{''})-(t_1^{''}-t_2^{'})}{\ln \frac{(t_1^{'}-t_2^{''})}{(t_1^{''}-t_2^{'})}}[/tex] (2-12)

 

对于其它的流动方式，可采用基准于逆流的修正因子[tex]\psi[/tex]来近似表示。[tex]\psi[/tex]的意义为接近逆流方式平均温度的程度，一般根据[tex]P,R[/tex]无因次量来查表。

 

[tex]P=\frac{t_1^{'}-t_1^{''}}{t_2^{''}-t_2^{'}}[/tex] (2-13)

[tex]R=\frac{t_2^{''}-t_2^{'}}{t_1^{'}-t_2^{'}}[/tex] (2-14)

 

在工程计算中，在热容量较小时可以以算术平均值简化平均温度的求解。

当[tex]C^{\ast}\ge 0.5[/tex]时，可取算术平均温度作为其平均温度：

 

[tex]t_{m1}=\frac{t_{1}^{'}+t_{1}^{''}}{2}[/tex]

[tex]t_{m2}=\frac{t_{2}^{'}+t_{2}^{''}}{2}[/tex]

 

当[tex]C^{\ast}\le 0.5[/tex]时，[tex]W_{max}[/tex]侧取算术平均温度：

 

[tex]t_{m} \mid_{W_{max}}=\frac{t^{'}+t^{''}}{2}[/tex]

 

[tex]W_{min}[/tex]侧的平均温度为：

 

[tex]t_{m}\mid_{W_{min}}=t_{m}\mid_{W_{max}}\pm \Delta t_{lm}[/tex]

 

若[tex]W_{min}[/tex]为热侧时则取加号。

令式(2-10)：

 

[tex]\Phi=K A \Delta t_m=W_{min}\Delta t_{max}[/tex]

 

其中[tex]\Delta t_{max}[/tex]表示[tex]t_1^{'}-t_1^{''}[/tex]和[tex]t_2^{''}-t_2^{'}[/tex]的较大者。采用[tex]W_{min}[/tex]的原因是热容量小的流体温差较大，其误差相对较小。由(1-2)式定义传热单元数NTU为：

 

[tex]NTU=\frac{K A }{W_{min}}=\frac{\Delta t_{max}}{\Delta t_m}[/tex] (2-15)

 

换热器的效率定义为换热器的实际换热量和理论上最大换热量的比值，即

 

[tex]\eta=\frac{\Phi}{\Phi_{max}}=\frac{W_1(t_1^{'}-t_1^{''})}{W_{min}(t_1^{'}-t_2^{'})}=\frac{W_2(t_2^{''}-t_2^{'})}{W_{min}(t_1^{'}-t_2^{'})}[/tex] (2-16)

 

当[tex](q_{m}c_{p})=W_{1}=W_{min}[/tex]时，有

 

[tex]\eta=\frac{t_1^{'}-t_1^{''}}{t_1^{'}-t_2^{'}}[/tex]

 

当[tex](q_{m}c_{p})=W_{2}=W_{min}[/tex]时，有

 

[tex]\eta=\frac{t_2^{''}-t_2^{'}}{t_1^{'}-t_2^{'}}[/tex]

 

换热器中理论最大的换热量只有在换热表面积无限大的逆流中出现。在理想化的情况下，热流体可以被冷却到[tex]t_1^{''}=t_2^{'}[/tex],或者冷流体可以被加热到[tex]t_2^{''}=t_1^'[/tex],那么冷热流体的最大温差为[tex](t_1^{'}-t_2^{'})[/tex]

 

对于[tex]W_2<W_1[/tex],则[tex]\Phi_{max}=W_2(t_1^{'}-t_2^{'})[/tex]

对于[tex]W_1<W_2[/tex],则[tex]\Phi_{max}=W_1(t_1^{'}-t_2^{'})[/tex]

 

在各种布置方式的换热器中，其效率和单元数之间存在着一定的函数关系。

逆流单流程流动：

 

[tex]\eta=\frac{1-e^{-NTU(1-C^{\ast})}}{1-C^{\ast}e^{-NTU(1-C^{\ast})}}[/tex] (2-17)

[tex]NTU=\frac{1}{1-C^{\ast}}\ln \frac{1-\eta C^{\ast}}{1-\eta}[/tex] (2-18)

 

对于两种流体均不混合的单流程叉流流动，Mason应用拉普拉斯变换法，得出效率、单元数和热容比的关系式是一个无穷级数解。工程计算中目前采用Drake提出的一个近似关系：

 

[tex]\eta=\exp \Big \{\frac{NTU^{0.22}}{C^{\ast}}[\exp (-C^{\ast}NTU^{0.78})-1]\Big\}[/tex] (2-19)

 

2.3 板翅式换热器的物性参数

        板翅式换热器内部流体的温度在其空间位置中是变化的，因此其物性参数都随温度或压力等基本参数而发生变化。在工程计算中，一般取入口处的温度、压力值来作为求解物性参数的参考值。

        在气体温度为常温，压力不高的情况下（温度低于200K，压力高于100atm），作为理想气体处理，其误差不大。理想气体的气体状态方程：

 

[tex]pv=R/M T[/tex]                (2-20)

 

其中[tex]v[/tex]为比体积，[tex]v=1/\rho[/tex]

[tex]R[/tex]为摩尔气体常数，空气为[tex]8.314510 J/(mol\cdot K)[/tex]

[tex]M[/tex]为摩尔质量，空气为[tex]28.97 g/mol [/tex]

        气体的粘度主要由分子动量交换强度决定，当温度升高时，分子运动加剧，动量交换剧烈，表现切应力增大，使粘度也相应增大。在一般情况下，压强变化对粘度几乎没有什么影响，只有发生几百个大气压变化时，粘度才有明显变化。因此可认为粘度至于温度相关，用Sutherland关系式计算：

 

[tex]\mu=\mu_{0}\frac{T_{0}+S}{T+S}(\frac{T}{T_{0}})^{3/2}[/tex]                (2-21)

 

其中[tex]\mu_{0}[/tex]为气体在[tex]0 {}^{\circ}\textrm{C}[/tex]时的动力粘度，[tex]S[/tex]为Sutherland常数，[tex]T_{0}[/tex]为参考温度。

空气：[tex]\mu_{0}=17.09\times 10^{-6} Pa\cdot s[/tex] , [tex]S=111[/tex],[tex]T_{0}=273[/tex]。

        物体的导热系数的定义式由傅里叶定律的数学表达式给出，数值上它等于在单位温度梯度作用下物体内热流密度矢量的模：

 

[tex]\lambda=\frac{|q|}{|\frac{\partial t}{\partial x}\mathbf n|}        

 

        导热系数的数值取决于物质的种类和温度等因素。通常其数值以温度的多项式近似表示，或用运动理论求取：

 

[tex]\lambda=\frac{15}{4}\frac{R}{M}\mu [\frac{4}{15}\frac{c_{p}M}{R}+\frac{1}{3}][/tex]        (2-22)

 

        理想气体的比热容是温度复杂函数，随着温度的升高而增大。空气定压比热容其与温度的四次方经验公式为：

 

[tex]\frac{C_{p,m}}{R}=3.653-1.337T+3.294T^{2}-1.913T^{3}+0.2763T^{4}[/tex]        (2-23)  

   

可以简化为：

 

[tex]c_{p}=1003+0.02t+4\times10^{-4}t^{2}[/tex]               (2-24)

        

        若考虑压力的影响，实际空气的定压比热容公式为：

 

[tex]c_{p}=(1004.18+1.71p)+(0.260175+0.0057142p)t+0.364286\times10^{-3}t^{2}[/tex]         (2-25)

 

2.4 板翅式换热器的准测数

        已知翅片的传热系数[tex]\alpha[/tex]与很多参数有关，

 

[tex]\alpha=f(\rho,c_{p},\lambda,\mu,u,l)[/tex]       

 

其数值通常由实验方法测定。[tex]\alpha[/tex]的规律一般可以整理成无量纲的传热因子[tex]j[/tex]与雷诺数[tex]Re[/tex]的关系，[tex]j[/tex]因子定义为：

  

[tex]j=S_{t}\cdot P_{r}^{2/3}[/tex]        (2-26)

 

斯坦顿数：[tex]S_t=\frac{N_u}{R_e P_r}[/tex]        (2-27) 

是表征流体与壁面间对流换热强烈程度的准则数。

        

普朗特数：[tex]P_r=\frac{\nu}{a}=\frac{{\mu}c_p}{\lambda}[/tex]        (2-28)                        

其中[tex]\nu=\frac{\mu}{\rho}[/tex]——运动粘度                                                                                                                           

        [tex]a=\frac{\lambda}{{\rho}c_p}[/tex]—— 热扩散率                                                  

 是表征温度边界层和流动边界层的关系的准则数。

 

努塞尔数：[tex]N_u=\frac{\alpha l}{\lambda}[/tex]        (2-29)                                                   

其中[tex]l[/tex]——特征长度，等于水力直径[tex]d_h[/tex]

是表征对流传热强度的准则数。

 

雷诺数：[tex]R_e=\frac{\rho u l}{\mu}=\frac{g_m l}{\mu}[/tex]        (2-30)                                

其中[tex]u[/tex]——流速[tex]m/s[/tex]

        [tex]g_m[/tex]——质量流速[tex]kg/{(m^2\centerdot s)}\quad g_m=\frac{q_m}{A_c}[/tex]                                 

        [tex]q_m[/tex]——质量流量[tex]kg/s[/tex]

        [tex]A_c[/tex]——流通面积[tex]m^2[/tex]

是表征流体微团惯性力与粘性力之比的准则数。

因此[tex]j[/tex]因子可以表述为：

 

[tex]j=\frac{N_{u}}{R_{e}P_{r}^{1/3}}[/tex]        (2-31)

 

         对于一个给定的换热量，在忽略壁面阻力和翅片表面效率对换热系数影响的情况下，可得：

 

[tex]\Phi=\alpha A \Delta t_{m}=q_{m}c_{p}(T_{2}-T_{1})[/tex]        (2-32)

 

[tex]\because \quad N_{u}=\frac{\alpha d_{h}}{\lambda}[/tex]

[tex]\therefore \quad \frac{\alpha d_{h}}{\lambda}=\frac{u d_{h}}{\nu} j P_{r}^{1/3}[/tex]

[tex]\therefore \quad \alpha=\frac{q_{m}}{\rho \nu}\lambda P_{r}^{1/3}\frac{j}{A_{c}}[/tex]        (2-33)

 

由式(2-32)和(2-33)得：

 

[tex]j=\frac{A_{c}}{A}P_{r}^{2/3}\cdot NTU[/tex]

 

[tex]\because \quad d_{h}=\frac{4A_{c}L}{A}[/tex]

 

[tex]\therefore \quad j=\frac{d_{h}}{4L}P_{r}^{2/3}\cdot NTU[/tex]        (2-34)

        由式(2-34)，在理论的情况下，由普朗特数和效率单元数的定义可知，对于给定的流体和初始条件（入口速度与温度），[tex]P_{r}^{2/3}\cdot NTU[/tex]是固定的。由式(2-34)可得：

 

[tex]\frac{L_{1}}{L_{2}}=\frac{d_{h1}j_{2}}{d_{h2}j_{1}}[/tex]        (2-35)

 

所以[tex]j[/tex]因子只与换热器的结构尺寸相关，对于几何结构相似的板翅式换热器，其[tex]j[/tex]因子与雷诺数的关系曲线可以以其中一种实验尺寸来表示。与之结构相似的换热器的[tex]j[/tex]因子由此相似关系加以修正可得，这大大减少了实验的次数。这也是以下数值模拟的依据之一。

        在忽略了换热器进出口的影响，和流体加速带来的压力损失。其芯体部分的压力降即为换热面通道的沿程摩擦阻力，其数值与摩擦因子等多种因素相关。

 

[tex]\Delta p_{c}=\psi(L,u,d_{h},\rho,\mu,\R_{a})[/tex]

 

其中[tex]R_{a}[/tex]——流道表面的粗糙度，芯体部分压降为：

 

[tex]\Delta p_{c}=\frac{1}{2}\rho u^{2}\frac{4L}{d_{h}}f[/tex]               (2-36)

 

其中[tex]f=\frac{\tau_{0}}{\frac{\rho u^{2}}{2}}[/tex]——摩擦因子

摩擦因子是根据单位换热（或摩擦）表面积沿流动方向的当量剪切力[tex]\tau_{0}[/tex]定义的。对于大多数的表面，它是粘性剪切力（表面摩擦）和压力（形状阻力）的综合。

 

[tex]\because \quad u=\frac{q_{m}}{\rho A_{c}}[/tex]

[tex]\therefore \quad \frac{2\rho \Delta p_{c}}{q_{m}^{2}}=f \frac{4L}{d_{h}A_{c}}=const[/tex]        (2-37)

 

由式（2-37）可导出：

 

[tex]\frac{A_{c1}^{2}}{A_{c2}^2}=\frac{f_{1}L_{1}d_{h1}}{f_{2}L_{2}d_{h2}}[/tex]        (2-38)

 

由此可见，在给定的流动条件下，摩擦因子与几何结构相似的换热器存在着比例关系。

由式（2-34）和（2-37）可得：

 

[tex]\frac{g_{m}^{2}}{2\rho \Delta p_{c}}=\frac{j/f}{P_{r}^{2/3}\cdot NTU}[/tex]        (2-39)

 

由式（2-39）和（2-34）可知，在换热器的热力设计中。流道的长度和水力直径是成正比的，而流道表面积相对独立于水力直径。在固定的压力降的情况下，增加换热器的紧凑性只能通过改变换热器的形状结构来减少流动长度。

由式（2-37）和（2-35）可得：

 

[tex]\frac{A_{c1}}{A_{c2}}=[\frac{j_{2}/f_{2}}{j_{1}/f_{1}}]^{1/2}[/tex]        (2-40)

 

由此可见[tex]j/f[/tex]是一个表征换热器紧凑性的准则数。

 

2.5 板翅式换热器的压降

        板翅式换热器因为其结构的特定，压力降在换热器中分成三个部分。入口、出口和芯体部分。

图2-3

        换热器芯体进出口的压力损失形式各不相同。当流体流进换热器的入口时，其压力增加由两部分组成。一是由于面积收缩，流体的动能增加引起的 压力损失，是压力能与动能之间的转换。这种压力的变化是可逆的，当面积由小变大时，压力又会有回落。二是由于突缩段不可逆自由膨胀引起的压力降低。当流体经过收缩断面时产生边界层分离，随着收缩断面下游速度分布的变化，动量速率也发生变化，从而引起相应的压力变化。若认为流体的密度为常数，则流体由入口1—1面到a—a面的压降为：

 

[tex]\Delta p^{'}=\frac{\rho^{'} u^{2}}{2}(1-\sigma^{2})+K^{'}\frac{\rho^{'}u^{2}}{2}[/tex]           (2-41)

 

其中[tex]\rho^{'}[/tex] ——进口截面1—1处的流体密度（近似等于截面a—a处的流体密度）

        [tex]K^{'}[/tex] ——有突缩段不可逆过程引起的收缩损失系数或进口损失系数，量纲为1    

 

[tex]\because \quad q_{m}=\rho^{'}uA_{c},\quad g_{m}=q_{m}/A_{c},\quad v^{'}=1/\rho^{'}[/tex]

[tex]\therefore \quad \Delta p^{'}=\frac{g_{m}^{2}v^{'}}{2}(1-\sigma^{2}+K^{'})[/tex]                (2-42)   

       

         同样，流体由b—b面到2—2面的压力回升类似的分为两部分：一是由于流动截面积变化引起的压力升高；二是由于突扩段不可逆自由膨胀和动量变化引起的压力损失。可表示为：

 

[tex]\Delta p^{''}=\frac{g_{m}^{2}v^{''}}{2}(1-\sigma^{2}-K^{''})[/tex]         (2-43)

 

 

其中，[tex]v^{'},v^{''}[/tex]分别为a—a和b—b截面的比体积。注意，公式中的流速取入口处。[tex]K^{'},K^{''}[/tex]是收缩和膨胀时的几何形状的函数，在某些情况下，是雷诺数的函数。在假定芯体前后的管道中流体速度基本上均匀，芯体中具有完全稳定的速度分布条件下Kays等人对一些简单的几何形状分析确定了这些函数。以曲线图形形式表示以供查表。使用各种间断翅片表面的目的是为了破坏边界层，因而不可能具有光滑长管那样的完全稳定的速度分布。在此情况下应根据[tex]R_{e}=\infty[/tex]去查图2-4，当[tex]R_{e}=\infty[/tex]时，各种[tex]K^{'},K^{''}[/tex]的曲线相同。

 

 

图 2-4

        换热器芯体部分的压力损失主要是由流体与传热表面之间的粘性摩擦损失以及流体的动量变化引起的。其值可表示为：

 

[tex]\Delta p_{cf}=\frac{g_{m}^{2}v^{'}}{2}[2(\frac{v^{''}}{v^{'}}-1)+\frac{4fL}{d_{h}}\frac{v_{m}}{v^{'}}[/tex]                (2-44)

 

其中，当两种流体的热容量比较相近时，平均比体积可取：

 

[tex]v_{m} \thickapprox \frac{1}{2} (v^{'}+v^{''})[/tex]                (2-45)